卷积的一些理解

coco

在DSP中遇到最困难的问题之一：如何使概念性的理解和复杂的数学理论很好地衔接起来。 -- 《实用数字信号处理：从原理到应用》


线性滤波中主要就是卷积和傅里叶，两者我是反反得得看过很多遍，可是还是没能很好地达到如上所说的概念性理解和数学理论衔接起来，特别是数学理论。
离散的一维卷积公式:

二维：
连续的一维卷积公式：
之前看数字图像处理可能多一些，所以对二维的卷积理解上更是清晰一些，但只是理解了概念性的，但是更深刻的理论还不太清楚，经过多次反复，一维的现在也是清晰了不少，对二维的理论也有所提高。
图像中的什么中值滤波、均值滤波、锐化等都是在空间域里进行卷积，这里会有三个参数：
一个是形状，我们多数用的是NxN的方形，还有其它长方形，星形，圆形等；
第二是这个形状的大小，像方形就会有NxN，这个N的值是多大，常用的就是3x3；
第三就是在形状里头的数值是怎么分布的，像3x3的9宫里用哪种分布得到哪种效果，像均值就是加权平均。
回到一维里头就相对没这复杂，它波形在时域里头处理，参数只有两个，一个是数组的长度，另一个就是数组的数值分布。
总体来说卷积我理解就是用一个窗口来看问题，这个窗口可以是放大镜，也可以是凹镜，窗口的大小决定滤波的范围，窗口的镜片，也就是值的分布，更专业些就叫加权系数，决定最终的效果。
虽然理解看起来是很简单了，可是就是在这简单里可以做出各种各样你想象不到的效果，这各种效果还是基于什么的数学理论呢？反过来有了一种数学理论，它又会产生何种效果呢？像图像的边缘，像声音的音效等，还有待进一步的学习研究。
现在的3D都是在2D上显现，何时才会在3D上用卷积呢？产生的效果应该更会多种多样吧！

突然想到数值分布，像二维的高斯分布（前段时间连续看了两周的混合高斯分布，打算用于背景训练，结果还差一点没完全弄明白），我想图像上的卷积效果就是基于如此的数学理论来进行的吧，那一维的也是同理了，只是这高斯分布分别用在一维、二维上。（图像的高斯噪点就是如此理论上实现出来的）。
继续看看卷积的性质，完了之后就到另一个重点：傅里叶变换，这个就是在频域上处理了，可是我一直还没很好地理解频域这个概念，也有可能是太钻牛角尖了。